泰勒级数计算器
使用此泰勒级数计算器逐步将您的函数表示为泰勒级数。它允许您通过指定以下内容来扩展函数：
您希望使泰勒级数居中的中心点 （a）。默认情况下，这通常表示为 x = 0
泰勒级数多项式的期望阶数 （n），这将有助于确定近似时考虑的项数
误差边界或收敛分析，取决于多项式的次数
限制：
该计算器适用于表示泰勒级数。它无法处理高级功能，例如分析收敛性或探索替代级数表示。
什么是泰勒级数？
泰勒级数是从函数的导数在指定点导出的无限长项和。
它在微积分中被广泛用于近似复杂函数的值，尤其是在所选点附近。此泰勒级数对于用更简单的多项式表示复杂函数特别有用。
泰勒级数公式：
泰勒级数展开的一般公式为：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ′ ′ ′ ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + … + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + … \ f（x）=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n=f（a）+f^{\prime}（a）（x-a）+\frac{f^{\prime\prime}（a）}{2！}（x-a）^2+\frac{f^{\prime\prime\prime}（a）}{3！}（x-a）^3+\ldots+\frac{f^{（n）}（a）}{n！}（x-a）^n+\ldots f （ x ） = ∑ n = 0 ∞ n ！ f （ n ） （ a ） （ x − a ） n = f （ a ） + f ′ （ a ）（ ( x − a ） + 2 ！ f ′′ （ a ） （ x − a ） 2 + 3 ！ f ′′′ （ a ） （ x − a ） 3 + ... + N ！ f （ n ） （ a ） （ x − a ） n + ...
哪里
“n”是泰勒级数中包含的项总数
“A”是函数的中心点
f（a） 表示函数在点 x = a 处的值
f′（a） 是一阶导数
f′′（a） 表示二阶导数
F′′′（a） 表示三阶导数
泰勒级数是无限的，但您可以设置要指定的多项式 （n） 的次数。也可以使用我们的泰勒级数计算器来完成，它允许您指定近似值的“n”值（添加更高的度数会导致更准确的函数近似）。
如何计算泰勒级数？
要计算函数的泰勒级数展开，请使用公式查看示例：
例：
功能是” x 2 + 4 \sqrt{x^{2} + 4} x 2 + 4
溶液：
f ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k \ f （x） = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k} f （ x ） = k = 0 ∑ ∞ k ！ f （ k ） （ a ） （ x − a ） k
f ( x ) ≈ P ( x ) = ∑ k = 0 ∞ f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k = ∑ k = 0 2 f ( k ) ( a ) k ! ( x − a ) k \ f （x） ≈ P（x） = \sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k} = \sum\limits_{k=0}^{2} \frac{f^{（k）}（a）}{k！}（x - a）^{k} f （ x ） ≈ P （ x ） = k = 0 ∑ ∞ k ！ f （ k ） （ a ） （ x − a ） k = k = 0 ∑ 2 k ！ f （ k ） （ a ） （ x − a ） k
f ( 0 ) ( x ) = f ( x ) = x 2 + 4 \ f^{（0）}（x） = f（x）= \sqrt{x^{2} + 4} f （ 0 ） （ x ） = f （ x ） = x 2 + 4 f ( 1 ) = 5 \ f（1） = \sqrt{5} f （ 1 ） = 5
计算一阶导数：
f ( 1 ) ( x ) = ( f ( 0 ) ( x ) ) ′ = ( x 2 + 4 ) ′ = x x 2 + 4 \ f^{（1）}（x） = \left（f^{（0）}（x）\right）^{'}= \left（\sqrt{x^{2} + 4}\right）^{'} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}} f （ 1 ） （ x ） = （ f （ 0 ） （ x ） ） ′ = （ x 2 + 4 ） ′ = x 2 + 4 x
给定点的第一阶推导：
( f ( 1 ) ) ′ = 5 5 \left（f（1）\right）^{'} = \frac{\sqrt{5}}{5} （ f （ 1 ） ） ′ = 5 5
二阶导数：
f ( 2 ) ( x ) = ( f ( 1 ) ( x ) ) ′ = ( x x 2 + 4 ) ′ = 4 ( x 2 + 4 ) 3 2 \ f^{（2）}（x） = \left（f^{（1）}（x）\right）^{'}= \left（\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 4}}\right）^{'} = \frac{4}{\left（x^{2} + 4\right）^{\frac{3}{2}}} f （ 2 ） （ x ） = （ f （ 1 ） （ x ） ） ′ = （ x 2 + 4 x ） ′ = （ x 2 + 4 ） 2 3 4
给定点的二阶推导：
( f ( 1 ) ) ′ ′ = 4 5 25 \left（f（1）\right）^{''} = \frac{4 \sqrt{5}}{25} （ f （ 1 ） ) ）′′= = 25 4 5
使用以下值可获取多项式：
f ( x ) ≈ 5 0 ! ( x − ( 1 ) ) 0 + 5 5 1 ! ( x − ( 1 ) ) 1 + 4 5 25 2 ! ( x − ( 1 ) ) 2 \ f（x） ≈ \frac{\sqrt{5}}{0！}（x- （1））^{0} + \frac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{1！}（x- （1））^{1} + \frac{\frac{4 \sqrt{5}}{25}}{2！}（x- （1））^{2} f （ x ） ≈ 0 ！ 5 （ x − （ 1 ） ） 0 + 1 ！ 5 5 （ x − （ 1 ） ） 1 + 2 ！ 25 4 5 （ x − （ 1 ） ） 2
在这里，您还可以通过在泰勒多项式计算器中指定值来执行多项式泰勒展开。
简化后：
f ( x ) ≈ P ( x ) = 5 + 5 ( x − 1 ) 5 + 2 5 ( x − 1 ) 2 25 \ f（x）≈P（x）=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{5} \left（x - 1\right）}{5}+\frac{2 \sqrt{5} \left（x - 1\right）^{2}}{25} f （ x ） ≈ P （ x ） = 5 + 5 5 （ x − 1 ） + 25 2 5 （ x − 1 ） 2
为什么使用泰勒级数？
人们使用 Taylor 级数有几个原因，包括：
近似函数： 泰勒级数的部分和让您近似函数。这些偏和是（有限）多项式，它们可以很容易地计算出来。在它的帮助下，您可以创建一个简单的多项式函数，该函数类似于特定点周围的复杂函数
分析函数行为： 该系列的项为您提供了有关函数在中心点附近如何行为的信息（泰勒多项式的每个项都是通过在单个点上取函数的导数来获得的）
系列表示： 它有助于表示关键函数，例如正弦函数、余弦函数和指数函数。因此，它在科学和工程中被广泛使用
求解微分方程： 在某些情况下，泰勒级数也可用于获得微分方程的近似解。当找到确切的解决方案看起来很困难时，它特别有用。函数 f（x） 的近似值和实际值之间的差值是余数。它由函数 Rn（x） 表示。它是与近似函数相关的误差，可以使用泰勒级数计算器轻松确定
